Áp lực chất lỏng lên thành cong

Trong bài trước mình đã giới thiệu cách xác định áp lực và điểm đặt của lực lên thành phẳng. Tuy nhiên trong thực tế chúng ta gặp không ít các bể chứa, thùng chứa, hoặc nắp đậy hình trụ, hình cầu, … Vậy áp lực chất lỏng tác động lên thành bình chứa dạng cong và điểm đặt của áp lực trong trường hợp này xác định như thế nào? Trong bài này chúng ta sẽ đi trả lời câu hỏi đó.

Về mặt nguyên tắc, để xác định áp lực của chất lỏng lên bề mặt bất kỳ, chúng ta cần tiến hành xác định 3 thành phần lực và 3 thành phần mômen theo các phương Ox, Oy, và Oz. Phổ biến trong thực tế các bình chứa thường có dạng mặt trụ hoặc mặt cầu, là các mặt cong có mặt phẳng đối xứng thẳng đứng. Khi đó vị trí áp lực tổng hợp của chất lỏng tác động lên mặt cong dạng này thường nằm trên mặt phẳng thẳng đứng đối xứng.

Xem xét bề mặt trụ AB vuông góc với mặt phẳng hình vẽ. Xác định áp lực tác dụng lên bền mặt trụ trong 2 trường hợp:

1) chất lỏng nằm ở phía trên mặt trụ (hình a)

2) chất lỏng nằm ở phía dưới mặt trụ (hình b)

Sơ đồ xác định áp lực lên thành cong

Trường hợp 1):

Xét khối chất lỏng giới hạn bởi mặt trụ AB, các mặt phẳng thẳng đứng đi qua đường biên của cung AB, và mặt thoáng khối chất lỏng, khi đó khối chất lỏng là khối ABCD trên hình vẽ. Ta sẽ đi xét điều kiên cân bằng của khối chất lỏng ABCD. Theo Định luật 3 Newtonnếu khối chất lỏng tác dụng lên thành AB một lực F, thì thành AB cũng tác dụng lên khối chất lỏng một lực F theo hướng ngược lại. Trên hình vẽ thể hiện các phản lực của thành AB lên khối chất lỏng trên.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có Oz thẳng đứng, Ox nằm ngang và Oy vuông góc với mặt phẳng hình vẽ.

Các lực tác dụng lên khối chất lỏng ABCD bao gồm: Trọng lượng G, phản lực thành AB, áp lực chất lỏng lên thành phẳng AD và BC, áp lực áp suất p₀ lên thành phẳng DC.

Điều kiện cân bằng theo phương Oz của khối chất lỏng ABCD là:

F_z=p₀S_x+G;

Ở đó p₀– áp suất tại mặt thoáng; S_x – diện tích chiếu lên phương ngang của mặt AB; G – trong lượng khối chất lỏng ABCD; thành phần p₀S_x – là lực tác động lên thành CD của khối chất lỏng.

Điều kiện cân bằng theo phương Ox của khối chất lỏng ABCD:

Ta nhận thấy áp lực lên khối chất lỏng tại 2 mặt EC và AD là bằng nhau về độ lớn và ngược chiều. Do đó áp lực chất lỏng lên khối chất lỏng tại 2 mặt EC và AD triệt tiêu lẫn nhau. Khi đó phương trình cân bằng trên phương Ox là:

F_x=F_BE;

hay F_x = S_zρgh_C+p₀S_z;

ở đó F_BE– áp lực chất lỏng lên thành phẳng BE; S_z– diện tích cung AB chiếu lên phương đứng; h_C– tọa độ tâm khối của thành phẳng giả BE.

Phương Oy là phương tiếp tuyến với mặt AB nên F_y = 0;

Ta xác định được độ lớn và chiều của phản lực F của thành AB lên chất lỏng. Từ đó xác định được áp lực chất lỏng lên thành AB. Độ lớn phản lực F là:

$F = \sqrt {F_z^2 + F_x^2}$

Trường hợp 2):

Xét cân bằng của khối chất lỏng giới hạn bởi mặt trụ AB; mặt phẳng ngang đi qua B và mặt phẳng thẳng đứng (vuông góc với mặt phẳng hình vẽ ) đi qua A, ta được khối chất lỏng ABK như hình vẽ (hình b).

Vẫn chọn hệ trục tọa độ như trường hợp a. Xác định ngay được F_y = 0;

Cân bằng khối chất lỏng ABK theo phương Oxlà:

F_x=F_AK;

hay F_x = S_zρgh_C+p₀S_z;

ở đó F_AK– áp lực chất lỏng lên thành phẳng AK; S_z– diện tích cung AB chiếu lên phương đứng; h_C– tọa độ tâm khối của thành phẳng giả AK, cũng chính tọa độ tâm khối thành phẳng BE.

Cân bằng khối chất lỏng ABK theo phương Ozlà:

F_z=F_BK– G₁;

F_z=p₀S_x+ρgh_BS_x– G₁;

Ở đó: F_BK– áp lực chất lỏng lên thành phẳng BK; F_BK= p₀S_x+ρgh_BS_x; G₁ – trọng lượng khối chất lỏng ABK.

Nếu đặt G₀ – trọng lượng khối chất lỏng hình hộp chữ nhật BKDC, thì G₀=ρgh_BS_xvà G – trọng lượng khối chất lỏng ABCD.

Ta có G = G₀ – G₁ = ρgh_BS_x– G₁.

Khi đó F_z=p₀S_x+G.

Ta thấy biểu thức F_x, F_y, F_z trong cả 2 trường hợp 1, 2 là như nhau.

Xác định điểm đặt của áp lực tổng hợp lên thành cong dạng trụ hoặc cầu:

Để xác định điểm đặt của áp lực tổng hợp lên mặt trụ hoặc mặt cầu là các mặt phẳng có mặt phẳng đối xứng thẳng đứng. Do tính chất đối xứng trước hết ta có thể xác định là lực tổng hợp sẽ nằm trong mặt phẳng đối xứng này.

Để xác định điểm đặt cụ thể ta lại có nhận xét tiếp: Tại mỗi tiết diện nhỏ dS trên mặt cong thì áp lực dF đều có hướng vuông góc với dS. Với tính chất của mặt trụ và mặt cầu dF vuông góc với dS suy ra, phương của dF sẽ đi qua tâm mặt cầu, hoặc đi qua tâm cung tròn của tiết diện mặt trụ nằm trên mặt phẳng đối xứng.

Lại biết các giá trị F_x và F_z, ta dễ dàng xác định góc lệch α của lực tổng hợp F so với phương đứng qua biểu thức tgα=F_x/F_z. Khi đó từ tâm mặt cầu hoặc tâm mặt trụ kẻ đường thẳng lệch góc α so với phương đứng. Điểm giao giữa đường thẳng này và mặt cong đang xét chính là điểm đặt của áp lực tổng hợp (hay còn gọi là tâm áp lực).